Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei die Funktion f im Intervall [a; b] stetig, dann gilt:
 
a) Existenz von Stammfunktionen
Die Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion) ist eine Stammfunktion von f . Sie ist für alle x aus ]a; b[  differenzierbar, und es gilt 
.
Jede andere Stammfunktion von f hat die Form F(x) = A(x) + c ().
 
b) Integralberechnung
Mit einer beliebigen Stammfunktion F von f kann das bestimmte Integral auf folgende Art berechnet werden:

Beweis a):

Um diesen wichtigen Satz zu begründen, folgen wir den anschaulichen Überlegungen.

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Wir betrachten eine beliebige, stetige Funktion f und die  Flächeninhaltsfunktion (Integralfunktion) A(x) der von a bis zur oberen variablen Grenze x reichenden Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse.

Aufgabe:  

  • Verändern Sie die Positionen von a und x und verschieben Sie den Graphen der Funktion f !

  • Welchen Verlauf könnte die Flächeninhaltsfunktion A(x) nehmen?
    Hinweis: Welchen Wert nimmt A an, wenn x = a ist?

Lösung

 

Hinweis
Dass dieser Flächeninhalt tatsächlich existiert, wissen wir bereits, da wir ihn als Grenzwert der Ober- bzw. Untersummen berechnen können.

Hinweis: Die Bezeichnung verwendet als Integrationsvariable die Variable t, da x als veränderliche obere Grenze benutzt wird.

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Wie verändert sich nun der Flächeninhalt, wenn man von x um ein kleines Stück Dx weiter nach rechts geht? 

 

Zum Flächeninhalt A(x) kommt noch ein kleines Stück DA hinzu.

 

Aufgabe:  

  • Verändern Sie die Positionen von x und x + Dx !

  • Verschieben Sie den Graphen der Funktion f !

 

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Dieses kleine Flächenstück DA ist kein Rechteck, aber nach dem 

 Mittelwertsatz der Integralrechnung

folgt, dass es eine Stelle x geben muss, sodass f(x) . Dx - das entspricht dem Flächeninhalt des grünen Rechtecks - gleich ist dem Flächeninhalt DA ist.

Im grün gezeichneten (Sekanten)Dreieck erkennt man als senkrechte Kathete DA = A(x+Dx) - A(x).

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Dieser Wert ist gleich 

DA = A(x+Dx) - A(x) = f(x) . Dx

Das bedeutet aber, dass f(x) genau der Steigung der Sekante im Punkt A(x) entspricht.

Aufgabe:  

  • Verschieben Sie x weiter nach links und x+Dx weiter nach rechts, damit das Sekantendreieck besser erkennbar wird!

  • Zeigen Sie den Wert der Sekantensteigung und des Funktionswertes f(x) an und verschieben Sie anschließend wieder x bzw. x+Dx !

 

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Führt man nun einen Grenzübergang für Dx gegen 0 durch, so erhält man wegen der Stetigkeit von f

A'(x) = f(x)

d.h. f(x) stellt genau die Steigung der Tangente im Punkt A(x) dar!

Aufgabe:  

  • Zeigen Sie die Steigung der Tangente und den Funktionswert f(x) an! 

 

 

Zusammenfassung

  • Spielen Sie die einzelnen Stationen des Beweises noch einmal durch und versuchen Sie, die dargestellten Beweisschritte in Worten zu erläutern.

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Beweis b):
Anschauliche Begründung

Wie wir in Teil a gesehen haben, ist die Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion)  A(x) eine Stammfunktion von f. Alle anderen Stammfunktion F(x) können sich deshalb nur um eine additive Konstante c von A(x) unterscheiden.

F(x) = A(x) + c ()

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Aufgabe:  

  • Verändern Sie den Wert für c mit dem Schieberegler!

  • Verschieben Sie die Grenzen a und b!

  • Verschieben Sie den Graphen der Funktion f nach oben und unten bzw. nach links und rechts!

  • Überzeugen Sie sich davon, dass die Differenz F(b) - F(a) stets gleich ist dem Wert von A(b)!

 

Formaler Beweis
Sei F(x) = A(x) + c

Für x = a folgt: F(a) = A(a) + c = = 0 + c 

 =>  F(a) = c ;

für x = b folgt:  F(b) = A(b) + c = + c 

 => = F(b) - c = F(b) - F(a)

q.e.d.